图像处理基础（一），旋转矩阵的通俗理解及其简单应用

文章目录

坐标系的基
坐标系的相对性
二维图像的坐标系
旋转图像

图像处理基础（一），旋转矩阵的通俗理解及其简单应用

		发表于: 2021-03-23 19:25:00 | 已被阅读: 102 | 分类于: 图像处理基础

旋转是处理二维图像的基本操作之一。本文要谈的旋转矩阵可以拆分为两个词来理解——“旋转”和“矩阵”，前者即表示将目标旋转一定角度的操作，后者则记录着旋转的具体信息。

坐标系的基

坐标系中的坐标点一般可以写为模乘以基的形式，以二维直角坐标系为例：

假设 $ p_0 $ 点的坐标为 $ (x_0, y_0) $，那么 $ p_0 $ 点可以写成：

$ $p_0 = x_0\cdot \overrightarrow{\mathbf{x}} + y_0\cdot \overrightarrow{\mathbf{y}} = [x_0, y_0 ]\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x}}\\\overrightarrow{\mathbf{y}}\end{bmatrix} $$

其中 $ \begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x}}\\ \overrightarrow{\mathbf{y}}\end{bmatrix} $ 即为坐标系的基。就本例而言，

$ $\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x}}\\\overrightarrow{\mathbf{y}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}1, 0\\0, 1 \end{bmatrix} $$

因此

$ $p_0 = [x_0,y_0] \begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x}}\\\overrightarrow{\mathbf{y}}\end{bmatrix}= [x_0,y_0] \begin{bmatrix}1, 0\\0, 1 \end{bmatrix} = [x_0,y_0] $$

可见，如果选择单位正交基作为坐标基，那么此时坐标值本质上只是模长，坐标的方向由基描述。对于二维直角坐标系，我们常常默认它的坐标基与坐标轴方向一致，而且为单位基，因此两个数字即可描述一个坐标。

事实上，脱离了具体的坐标系（基），单独的两个数字并不能说明点的具体位置，请看下图：

点 $ p_1(1, 1) $ 和点 $ p{'}_1(1{'}, 1{'}) $ 的坐标值是相等的，但是前者位于 $ xoy $ 坐标系，后者位于 $ x{'}oy{'} $ 坐标系，二者的位置并不相同。

假设坐标系使用的坐标基为沿着坐标轴方向的单位基，下文若没有特殊说明，也是如此。

坐标系的相对性

我们已经明白坐标系中的坐标点是相对于坐标基而言的，因此，即使同样的坐标值，使用不同的坐标基也可以表示不同的位置，换句话说，固定位置点在使用不同坐标基表达时，坐标值不同。

假设平面中有个确定的位置点 $ p_1 $，它在坐标系 $ xoy $ 中的坐标值为 $ p_1(1, 1) $，若 $ \theta = 45\degree $ ，那么点 $ p_1 $ 在坐标系 $ x{'}oy{'} $ 中的坐标值 $ p{'}_1 $ 为多少呢？答案很简单：

$$p^{x{'}oy{'}}_1 = x_1 \cdot \vec{\mathbf{x{'}}} + y_1 \cdot \vec{\mathbf{y{'}}} = [x_1, y_1
]\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} $$

只要求出 $ x{'}oy{'} $ 相对于 $ xoy $ 的坐标基 $ \begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} $ 即可。我们可以轻易的写出坐标系 $ x{'}oy{'} $ 的一组正交单位基 $ [1{'}, 0]^{T} $ 和 $ [0, 1{'}]^{T} $，它们在坐标系 $ xoy $ 中的表示为 $ [cos(\theta), sin(\theta)]^{T} $ 和 $ [-sin(\theta), cos(\theta)]^{T} $，即

$ $\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix} cos(\theta), -sin(\theta)\\ sin(\theta), cos(\theta) \end{bmatrix} $$

因此点 $ p_1 $ 在坐标系 $ x{'}oy{'} $ 中的坐标值为：

$ $p^{x{'}oy{'}}_1 = [x_1,y_1]\begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} = [1,1]\begin{bmatrix}cos(45\degree), -sin(45\degree)\\sin(45\degree), cos(45\degree) \end{bmatrix} = [ \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}, -\frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2}]= [\sqrt{2},0 ] $$

在初中物理中，我们已经明白运动是相对的概念，例如一辆汽车从西边向我（西->东）驶来，这是相对于“我”来说的。从“汽车”的视角来看，我是从东边向它（东->西）驶去的。

同样的道理，从坐标系 $ xoy $ 的视角来看，点 $ p_1 $ 位于第一象限的中间，但是从坐标系 $ x{'}oy{'} $ 的视角来看，点 $ p_1 $ 位于第一象限的边界（坐标轴），中间->边界，相当于顺时针旋转了 $ \theta $ 角。

坐标系 $ x{'}oy{'} $ 相对于 $ xoy $ 逆时针旋转了 $ \theta $ 角，根据运动的相对性，从坐标系 $ x{'}oy{'} $ 的视角来看，点 $ p_1 $ 顺时针旋转了 $ \theta $ 角。

事实上，坐标系 $ xoy $ 中的任意点 $ (x, y) $ 经过 $ \begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} $ 处理后，都相当于顺时针旋转了 $ \theta $ 角，所以称 $ \begin{bmatrix}\overrightarrow{\mathbf{x{'}}}\\\overrightarrow{\mathbf{y{'}}}\end{bmatrix} $ 为旋转矩阵。在二维图像处理中，旋转矩阵可以帮助我们实现旋转图像的操作，稍后将以实例说明。

二维图像的坐标系

以二维图像为例，一般来说，在图像处理中，我们常常认为组成图像的各个像素点具备两大类信息：位置和像素值。位置通常由一对坐标值给出，因此（13, 24, 203）可以看作是位于 (13, 24) 处，值为 203 的像素。

当然，坐标是相对于坐标系而言的，我们通常视图像的水平边为横轴，竖直边为纵轴，左上角为原点，如上图所示。

旋转图像

前面提到“旋转矩阵可以帮助我们实现旋转图像的操作”，接下来将以上图为输入，编写 Python 代码实现图像旋转。

首先，读入图片：

import cv2

img = cv2.imread('test.jpg')
img_h, img_w = img.shape[:2]  # 图像的高和宽

以旋转 30$ \degree $ 为例，计算旋转矩阵：

theta = np.pi / 6  # 30 度
rotate_matrix = [[np.cos(theta), -np.sin(theta)], [np.sin(theta), np.cos(theta)]]

图像旋转后，若希望仍然完全显示，则需要使用更大的画板，计算所需画板的宽高，以及存放像素的偏移：

offset_h = int(np.sin(theta) * img_h)

target_w = np.ceil(img_w * np.cos(theta) + img_h * np.sin(theta)).astype(np.int32)
target_h = np.ceil(img_h * np.cos(theta) + img_w * np.sin(theta)).astype(np.int32)

计算每个像素旋转后的坐标，并且把对应的像素拷贝到目标画板 target_img 中：

target_img = np.zeros((target_h, target_w, 3), dtype=np.uint8)
for h in range(img_h):
	for w in range(img_w):
		new_wh = np.dot([w, h], rotate_matrix) + np.array([0, offset_h])

		tw, th = np.floor(new_wh).astype(np.int32)
		target_img[th:th+2, tw:tw+2, :] = img[h, w, :]

显示原始图像和旋转后的图像

cv2.imshow('raw', img)
cv2.imshow('rotated', target_img)
cv2.waitKey(0)

得到结果：